Центр города — city centre — это британский/австралийский варианты. Американцы называют центр города совсем по-другому.
Downtown — американский вариант значения «центр города».
Что они понимают под центром города?
Тоже, что и мы: обычно, это многолюдная историческая культурная деловая часть города.
В википедии написано: «Слово downtown употребляется преимущественно северными американцами.
Могу сказать, южане, так же, используют это слово в значении центра города.
Примеры использования downtown
Я в центре Москвы.
Отель расположен в двух милях к северу от центра города.
Я работаю в центре, но живу в пригороде.
Я живу в крохотной квартире в центре города.
I’m going downtown. — частота употребления зависит от гео-локации.
Я собираюсь в центр.
НЮАНС
Сказать «I live in downtown» — будет неверно, хоть и понятно.
Если надо сказать: «Я живу в центре» — говорим : I live downtown. Без предлога IN.
С предлогом можно сказать так: I live in the downtown area. По значению будет тоже самое.
Если надо сказать: «Я живу в центре Москвы/Екб/NY — говорим: I live in downtown Moscow/ Ekb/ New York.